¿Qué tan matemática es la lógica matemática? *.
| Autor | Barcel |
Resumen: La lógica matemática es matemática en cuanto que usa herramientas matemáticas. En este sentido, la lógica matemática es matemática en el mismo sentido que lo es, digamos, la mecánica newtoniana. En ambos casos, el método es matemático, pero las ciencias mismas no lo son, pues su objeto de estudio pertenece a una realidad objetiva e independiente. En particular, las herramientas matemáticas que usa la lógica simbólica contemporánea --tanto en su simbolismo como en su cálculo-- se crearon originalmente para el desarrollo algebraico de la geometría, y luego fueron adaptadas al resto de las matemáticas y la lógica. A estas herramientas se les llama formales, pues permiten el cálculo con formas generales.
Palabras clave: formal, lógica formal, lógica simbólica, análisis
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Tal y como su título lo indica, el objetivo de este artículo es responder la pregunta: ¿Qué tan matemática es la lógica matemática? (1) En sí misma, la respuesta es sencilla: la lógica matemática es matemática en cuanto que usa herramientas matemáticas. En este sentido, la lógica matemática lo es en el mismo sentido que lo es, digamos, la mecánica newtoniana. En ambos casos, el método es matemático, pero ellas mismas --las ciencias mismas-- no son matemáticas, pues su objeto de estudio pertenece a una realidad independiente. Qué tan independiente sea esta realidad depende de la posición que uno quiera tomar respecto del carácter objetivo de la lógica. Para acentuar el contraste entre objeto de estudio y herramientas, presentaré el quehacer de la lógica matemática en el marco de un realismo lógico de tipo metodológico.
Este marco realista se desarrolla en la sección 1 de este artículo, para posteriormente, en la sección 2, explicar con más detalle la separación entre el objeto de estudio de la lógica y sus herramientas matemáticas. La sección 3 está dedicada a explicar la naturaleza matemática de estas herramientas. Aclarar su naturaleza servirá también al propósito de puntualizar en qué sentido se dice que esta lógica matemática es formal y simbólica. Para lograr esto, trazaré una liga histórica entre el desarrollo de lo formal y lo simbólico en matemáticas y el origen y desarrollo de la lógica moderna. Si bien creo que lo dicho en las primeras dos secciones de este artículo no es en lo absoluto original ni innovador, sino, por el contrario, expresa sólo la opinión común de la mayoría de los lógicos filosóficos actuales, esta última sección, en contraste, tiene el objetivo de desmantelar ciertos mitos sobre el carácter formal y simbólico de la lógica matemática.
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El marco realista
1.1. Realismo lógico
En una discusión reciente, (2) mi colega Ivan Antonowitz usó una excelente analogía para explicar el objeto de estudio de la lógica. Dijo que los pensamientos son a la lógica lo que la visión es al espectro electromagnético. Mientras que, sin el auxilio de instrumentos, lo que captamos a través de la vista es sólo un sector del espectro electromagnético, así también nuestro pensamiento, por sí sólo, es incapaz de captar la totalidad de las conexiones lógicas entre teorías, proposiciones, conceptos, etc. Esta afirmación contiene de manera condensada la tesis central de lo que se ha llamado realismo lógico: la idea de que las conexiones lógicas, el objeto de estudio de la lógica, tienen una existencia objetiva, cuyo descubrimiento y estudio sistemático es el objetivo de la ciencia lógica.
Michael D. Resnik (2000) caracteriza esta noción de realismo lógico de la siguiente manera:
El realismo lógico está comrpometido con al menos dos tesis: primero, es una cuestión de hecho la de si algo es una verdad lógica, una inconsistencia lógica o si implica lógicamente alguna otra cosa. (Podemos formular esto de una manera menos controversial diciendo que las afirmaciones sobre verdad lógica, etc., son verdaderas o falsas.) Segundo, que tales hechos (o los valores de verdad de tales afirmaciones) son independientes de nosotros, de nuestra estructura psicológica, de nuestras convenciones lingüísticas y de nuestras prácticas inferenciales. En otras palabras, el realismo lógico afirma que los asuntos de la lógica son más bien cuestiones de hechos, y que esos hechos no se fundan en nosotros ni en nuestras prácticas. (p. 181) (3) Sin embargo, esta manera de presentar la objetividad de la lógica como cierto tipo de independencia equivoca la relación entre lógica, lenguaje, pensamiento y práctica inferencial. La lógica, aún bajo supuestos realistas, no presume completa independencia de estos aspectos. Por lo tanto, es necesario hacer ciertas aclaraciones respecto del sentido en que la lógica es independiente del pensamiento, el lenguaje y nuestras prácticas inferenciales concretas.
En su respuesta a "How Are Objective Epistemic Reasons Possible?" (Bogghossian 2001), C. Wright (2001) deja claro que la verdadera antítesis de la objetividad no es el escepticismo, sino el relativismo. Si la lógica no fuera objetiva, no dejaría de ser conocimiento, sino que sus verdades pasarían a ser relativas: relativas a la factura psicológica del hombre, a sus convenciones lingüísticas y su práctica inferencial. (4)
Dado que el objeto de estudio de la lógica es una serie de propiedades --como validez lógica-- y relaciones --como relaciones de equivalencia, consecuencia, incompatibilidad lógica, etc.-- entre entidades como teorías, proposiciones, conceptos y demás, el realismo lógico está comprometido con la existencia objetiva de estas relaciones y propiedades. En términos de Resnik, estamos comprometidos con la objetividad de los hechos lógicos. Esta objetividad se sustancializa en términos de su independencia de aspectos tales como las convenciones lingüísticas, la psicología humana y las prácticas inferenciales de agentes racionales concretos. Sin embargo, debemos notar que el compromiso con la objetividad e independencia de estos hechos no implica un compromiso con la objetividad y absoluta independencia de los objetos que en ellos ocurren. Por ejemplo, el realismo lógico afirma que ciertas proposiciones se siguen de manera objetiva de otras, pero no que dichas proposiciones existan de manera completamente independiente de las particularidades concretas de nuestro lenguaje, pensamiento o prácticas inferenciales. En general, el realismo lógico no se compromete con la existencia objetiva e independiente de objetos tales como teorías, proposiciones, conceptos o modelos. (5) A decir verdad, es indiferente a su estatus ontológico.
Esta situación es común a todas las ciencias con pretensiones de objetividad. La lingüística, por ejemplo, no deja de ser una ciencia objetiva por el simple hecho de estudiar objetos y fenómenos dependientes, en un sentido fuerte, de nuestras convenciones lingüísticas. Igualmente, la psicología y la sociología tampoco pierden su carácter objetivo por ocuparse de objetos fuertemente determinados por nuestra psicología --valga la redundancia-- y nuestras prácticas humanas. Su objetividad descansa en otro lado.
Por otro lado, si bien el realismo lógico es indiferente al estatus ontológico de los objetos lógicos, es claro que, en la práctica lógica, los filósofos asumimos que estos objetos no son meramente lógicos, sino que también existen en otras dimensiones de la realidad. La gran mayoría de los lógicos asumimos que las proposiciones, los conceptos, etc., tienen otros aspectos aparte de los estudiados por nuestra disciplina. No somos pocos los que creemos que los enunciados expresan proposiciones (relativas a un contexto de emisión asertiva), o que ellas son el contenido de algunos de nuestros pensamientos, o que están involucrados de alguna manera en los procesos de inferencia. Algo similar puede decirse de los conceptos y del resto de los objetos cuyas propiedades estudiamos. (6) Asumir esto nos permite creer en la aplicabilidad de nuestra ciencia. Si no creyéramos, por ejemplo, que contamos con algún mecanismo cognitivo que nos permite capturar conexiones lógicas entre los contenidos de nuestros pensamientos, no podríamos decir que la lógica tiene algo que decir sobre la validez de nuestros razonamientos. Igualmente, sin asumir la capacidad de nuestro lenguaje para expresar proposiciones, no podríamos aplicar la lógica a argumentos y enunciados del lenguaje natural. En este sentido, la aplicabilidad de la lógica va en contra de la completa independencia de los objetos lógicos, pero no en contra de la objetividad de sus hechos.
Ahora bien, si por un lado aceptamos que existen hechos psicológicos, lingüísticos y sociales objetivos, y por el otro, que los objetos lógicos pueden estar ejemplificados en objetos lingüísticos, psicológicos o socialmente determinados, ¿en qué sentido requiere la objetividad lógica independencia de la psicología, la lingüística y la sociología? ¿Qué relación existe entre objetividad e independencia? La respuesta es sencilla. La objetividad de la lógica descansa en la autonomía de sus hechos. Descansa en la independencia de su dominio de hechos, no de su dominio de objetos. En otras palabras, la lógica es objetiva porque los hechos lógicos no son (reducibles a) hechos psicológicos, sociales o lingüísticos.
1.2. Objetividad y realismo
De acuerdo con Resnik, la objetividad de los asuntos de la lógica es una de las razones más fuertes a favor del realismo lógico. Sin embargo, presentar las cosas de esta manera es equívoco, ya que sostener el realismo lógico no es sino reconocer la objetividad de la lógica. Resnik mismo lo concede al distinguir entre la explicación realista de la objetividad de la lógica, y la posición antirrealista que tan sólo trata de explicar la aparente objetividad de la misma (Resnik 1987, p. 185). En su "Realist Manifesto", Shapiro (1997) hace la misma conexión entre realismo y objetividad con respecto a las matemáticas. En ese artículo, Shapiro presenta implícitamente el realismo como la única posición consistente con la objetividad de las matemáticas. De acuerdo con él, el...
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