Estimación del VaR mediante un modelo condicional multivariado bajo la hipótesis a-estable sub-Gaussianaa
| Autor | Ramona Serrano Bautista - Leovardo Mata Mata |
| Cargo | Tecnológico de Monterrey - Tecnológico de Monterrey |
| Páginas | 43-76 |
Ensayos Revista de Economía, 37(1), 43-76, Mayo 2018
ISSN Electrónico: 2448-8402 | ISSN Impreso: 1870-221X
©2018 Los autores
UANL
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE ECONOMÍA CENTRO DE INVESTIGACIONES ECONÓMICAS
Estimación del VaR mediante un modelo
condicional multivariado bajo la hipótesis
α-estable sub-Gaussiana
A conditional approach to VaR with multivariate
α-stable sub-Gaussian distributions
Ramona Serrano Bautista*
Leovardo Mata Mata**
Información del
artículo
Resumen
Recibido:
29 noviembre 2016
Aceptado:
21 febrero 2018
El objetivo de esta investigación es proponer un
modelo de volatilidad multivariable, el cual
-estable
para ajustar colas pesadas con el modelo GARCH
para capturar clúster de volatilidad. El supuesto
inicial es que los rendimientos siguen una
distribución sub-Gaussiana, la cual es un caso
particular de las distribuciones estables
multivariadas. El modelo GARCH propuesto se
aplica en la estimación del VaR a un portafolio
compuesto por cinco activos que cotizan en la
Bolsa Mexicana de Valores (BMV). En particular,
se compara el desempeño del modelo propuesto
con la estimación del VaR obtenida bajo la
hipótesis multivariada Gaussiana, t-Student y
Cauchy d urante el período de la crisis financiera
de 2008.
Clasificación JEL:
G17; C22; C13; C51
Palabras clave:
-estable
Sub-Gaussiana;
GARCH multivariado
estable Sub-Gaussiano;
Valor en Riesgo
* Tecnológico de Monterrey, Guadalajara Av. General Ramón Corona 2514
Nuevo México, 45201 Zapopan, Jal., México. Tel. (33) 36693000. rsb@itesm.mx
** Tecnológico de Monterrey, Estado de México. leovardo.mata@itesm.mx
ensayos.uanl.mx
®
Facultad de
Economía
Serrano y Mata / Ensayos Revista de Economía, 37(1), 43-76
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Article information
Abstract
Received
29 November 2016
Accepted
21 February 2018
The purpose of this investigation is to propose a
multivariate volatility model that takes into
consideration time varying volatility and the
-stable s ub-Gaussian distribution
to model heavy tails. The principal assumption is
that returns follow a sub-Gaussian distribution,
which is a particular multivariate stable
distribution. The propose d GARCH model is
applied to a Value at Risk (VAR) estimation of a
portfolio composed by 5 companies listed in the
Mexican Stock Exchange Index (IPC) and
compared with t he one obtained using the normal
multivariate distribution, t-Student and Cauchy.
In particular, we exa mine performances during
the financial crisis of 2008.
JEL Classification:
G17; C22; C13; C51
Keywords:
-stable Sub-Gaussian
distribution;
multivariate stable Sub-
Gaussian GARCH
model; Value at Risk
Introducción
El objetivo de la presente investigación es describir a grandes rasgos la teoría
de las distrib uciones estables multivariadas, con el objetivo de estimar un
modelo GARCH multivariado estable sub-Gaussiano, que posteriormente se
aplica en la estimación del VaR de un portafolio.
El creciente interés en el uso de -estable o estables ha sido
motivado por sus diversas aplicaciones a problemas prácticos, entre ellos, su
aplicación en el modelo de portafolios financieros. A partir de los trabajos
seminales de Mandelbrot (1963) y Fa ma (1965), los modelos estables que
describen los rendimientos de activos financieros han ido ocupando un lugar
prominente tanto en estadística como en la literatura financi era (por ejemplo:
Rachev y Han, 2000; Mittnik y Rachev, 1989, Rachev y Mittnik, 2000;
Panorska, Mittnik y Rachev, 1995; Mittnik, Rachev y Paolella, 1997).
Las distribuciones estables son de interés, debido a que el Teorema del
Límite Central Generalizado afirma que el único límite no trivial de sumas de
variables aleatorias normalizadas independientes e idénticamente distribuidas
(i.i.d.), es estable. Es d ecir, los vectores aleator ios estables poseen la
-
estable, lo cual es una característica muy útil en la teoría de portafolios, ya
que bajo el supuesto de que los rendimientos de los activos si guen una
distribución estable conjunta, entonces el rendimiento de cualquier portafolio
-estable.
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Por otro lado, en el manejo de riesgos, el pr incipal interés es modelar el caso
extremo de las posibles pér didas. A partir de las investigaciones empíricas,
sabemos que una pérdida ext rema en un activo, muy a menudo conduce a
altas pérdidas en muchos otros activos. Este comportamiento del mercado no
puede ser modelado por la distribución normal, pero con ciertas
-estable sub-
Gaussiana, podemos capturar este comportamiento.
Sin embargo, y aunque el problema de estimación de los parámetros en el
caso univariado ha sido r esuelto satisfactoriamente (ver McCulloch, 1986;
Nolan, 2001), hasta ahora , la literatura sobre la distribución es table
multivariada es escasa.
El principal obstáculo en la implementación de modelos estables es la
ausencia de expresiones analíticas explícitas para la función de densidad de
probabilidad (excepto las distribuciones de Gauss, Cauchy y Levy). En el
caso univariado, es posible utilizar la fórmula de inversión para recuperar la
función de densidad de probabilidad (pdf, por sus siglas en inglés). En este
contexto, el método basado en la transformada rápida de Fourier (FFT, por
sus siglas en inglés) ha demostrado tener un buen desempeño en el cálculo de
la densidad para un gran número de datos (ver Nolan , 1997; Mittnik,
Doganoglu y Chenyao, 1999; Khindanova, Rachev y Schwartz, 2001).
Desafortunadamente, en el caso multivariado, el cálculo de la pdf es aún más
complicado. La función característica conjunta general i mplica el cálculo de
una integral con respecto a la llamada medida espectral, es decir , una medida
de Borel finita sobre la esfera unitaria
d
S
d
R
, donde d representa la
dimensión del vector estable multivariado.
Hasta hoy, algunos casos específicos dentro del caso general han sido
resueltos. Un método para estimar los parámetros de un po rtafolio estable se
describe en Press (1972). Modarres y Nolan (1994) presentan un método
para simular vector es aleatorios estables multivariados. Byczkowski, Nolan,
y Rajput (1993) y Nolan y Rajp ut (1997) describen un método para
aproximar medidas espectrales estables mediante una medida discreta,
además del cálculo numérico de la densidad estable multivariada. Por otro
lado, Nolan, P anorska y McCulloch (2001) presentan dos métodos de
estimación de las medidas espectrales, uno basado en la función caracter ística
empírica y otro en las proyecciones unidimensionales de los datos.
Además, Mittnik y Rachev (1993) sugieren un método para estimar el
exponente característico y la medida espectral de una distribución estable
bivariada generalizada, empleando solo un pequeño subconjunto de dato s
extraídos de las colas extremas. McCulloch (2000) presenta un método para
estimar la medida e spectral de una d istribución e stable bivariada
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