Los enfoques de Boltzmann y Gibbs frente al problema de la irreversibilidad.
| Autor | Lombardi, Olimpia |
RESUMEN: El objetivo del presente trabajo consiste en analizar las diferencias entre los enfoques de Boltzmann y de Gibbs respecto del problema de la irreversibilidad. Dicho análisis nos permitirá poner de manifiesto que, en las discusiones acerca de las condiciones necesarias para la irreversibilidad, no suele advertirse que la diferencia central entre los dos enfoques consiste en la utilización de diferentes conceptos de equilibrio y, por tanto, de irreversibilidad. Finalmente se argumentará que, si bien inicialmente ambos enfoques parecen por completo irreconciliables, existen condiciones físicas definidas bajo las cuales los resultados que proporcionan ambos marcos teóricos se aproximan lo suficiente como para ser considerados igualmente admisibles desde el punto de vista de la práctica de la física.
PALABRAS CLAVE: irreversibilidad, Boltzmann, Gibbs, ergodicidad, grados de libertad
SUMMARY: The aim of this paper is to analyze the differences between the approaches of Boltzmann and Gibbs with respect to the problem of irreversibility. This analysis will allow us to show that, in the discussion about the necessary conditions for irreversibility, it goes often unnoticed that the main difference between the two approaches is the use of different concepts of equilibrium and, as a consequence, of irreversibility. Finally, we will argue that, although in principle both approaches seem completely irreconcilable, there are definite physical conditions under which the results provided by both theoretical frameworks are similar enough to be considered equally admissible for all practical purposes.
KEY WORDS: irreversibility, Boltzmann, Gibbs, ergodicity, degrees of freedom
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Introducción
En las exposiciones tradicionales, la mecánica estadística suele ser presentada y explicada como si se tratara de una teoría sistemática, con una formulación única y definitiva que ya no admite disensos: sus problemas se reducirían a metas cuestiones de interpretación respecto de algunos de los conceptos utilizados, como los de probabilidad o ensemble. Sin embargo, este tipo de presentaciones oculta un hecho central, responsable de que la mecánica estadística, a más de cien años de su nacimiento, continúe generando profundos debates acerca de sus fundamentos teóricos. En efecto, bajo el rótulo "mecánica estadística" se subsumen dos enfoques, el de Boltzmann y el de Gibbs, que difieren en aspectos teóricos básicos tanto respecto de la explicación del equilibrio, como de la descripción dinámica de la evolución hacia el equilibrio. En particular, ambas posiciones divergen en el modo de dar cuenta del comportamiento irreversible de los sistemas macroscópicos: en el enfoque de Gibbs la ergodicidad es una condición necesaria para la irreversibilidad pero no lo es el alto número de grados de libertad del sistema; mientras que en el enfoque de Boltzmann no es necesario que el sistema sea ergódico para manifestar un comportamiento irreversible, pero el elevado número de grados de libertad sí se considera un requisito indispensable.
En un trabajo anterior (Lombardi 2003) se ha estudiado el papel que cumple la ergodicidad en el marco teórico de Gibbs. El presente trabajo continúa esa línea de investigación: su objetivo consiste en analizar las diferencias entre los enfoques de Boltzmann y de Gibbs sobre la base de los argumentos teórico-formales esgrimidos por los defensores actuales de ambas posiciones antagónicas. Tal análisis permitirá poner de manifiesto los malentendidos conceptuales implícitos en el debate: en la discusión acerca de las condiciones necesarias para la irreversibilidad no suele advertirse que la diferencia central entre los dos enfoques consiste en la utilización de diferentes conceptos de equilibrio y, por tanto, de irreversibilidad en sus respectivas formulaciones teóricas. Finalmente se argumentará que, si bien inicialmente ambos enfoques parecen por completo irreconciliables, existen condiciones físicas definidas bajo las cuales los resultados que ambos esquemas teóricos proporcionan se aproximan lo suficiente como para ser considerados igualmente admisibles desde el punto de vista de la práctica de la física.
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Mecánica y termodinámica
El problema de la irreversibilidad consiste en la pregunta acerca de cómo pueden explicarse las evoluciones macroscópicas irreversibles de la termodinámica en términos de una dinámica microscópica subyacente totalmente reversible. Por lo tanto, el problema se inserta en el marco de los intentos de reducción de la termodinámica a la mecánica, sobre la base del supuesto de que las regularidades macroscópicas resultan de las regularidades que rigen los componentes microscópicos de un sistema. En consecuencia, cuando en este contexto se habla del sistema termodinámico y del sistema mecánico, no se alude a dos entidades independientes, sino a un único sistema bajo diferentes descripciones: como sistema termodinámico [S.sup.T] o como sistema mecánico [S.sup.M].
Puesto que los desacuerdos acerca de las condiciones necesarias para la irreversibilidad descansan sobre argumentos que utilizan el formalismo y los conceptos básicos de la mecánica estadística, el primer paso para analizar este debate con el rigor pertinente consiste en precisar los elementos formales y conceptuales que intervienen en las descripciones mecánica y termodinámica de un sistema físico.
2.1. Descripción mecánica
Sea [S.sup.M] un sistema mecánico aislado, esto es, que no intercambia materia ni energía con el medio; por lo tanto, el sistema conserva su energía mecánica [E.sub.M] constante a través del tiempo. Si [S.sup.M] está compuesto por N subsistemas idénticos, cada uno de los cuales posee n grados de libertad --traslacional, rotacional, etc.--, su estado queda determinado por el valor de 2nN variables. Llamando [q.sub.i] a las coordenadas generalizadas y [p.sub.i] a los momentos cinéticos generalizados de cada subsistema, el estado mecánico instantáneo m(t) del sistema [S.sup.M] --microestado mecánico-- queda definido por el valor de las 2nN variables de estado:
m(t) = ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) = ([q.sub.1](t), [q.sub.2](t), ..., [q.sub.n]N(t), [P.sub.1](t), [p.sub.2](t), ..., [p.sub.n]N(t))
El estado instantáneo de [S.sup.M] suele representarse en el espacio de las fases correspondiente, esto es, una variedad diferenciable de tantas dimensiones como variables de estado posea el sistema. En este caso, se trata de un espacio de las fases [GAMMA] de 2nN dimensiones, donde cada punto x(t) representa un microestado mecánico posible del sistema.
En el caso particular en el cual [S.sup.M] está compuesto por N partículas puntuales de masa m, el estado mecánico de cada partícula queda determinado por el valor de 6 variables: 3 por sus coordenadas posicionales [q.sub.i] y 3 por las componentes de su momento cinético Pi = m [dq.sub.i]/dt. Por lo tanto, el microestado mecánico instantáneo m(t) de [S.sup.M] queda definido por el valor de las 6N variables de estado:
m(t) = ([q.sub.i](t),[p.sub.i](t)) = ([q.sub.1](t), [q.sub.2](t), ..., [q.sub.3N](t), [p.sub.1](t), [p.sub.2](t), ..., [p.sub.3N](t))
En todos los casos, la evolución temporal de [S.sup.M] se encuentra regida por las ecuaciones de Hamilton:
[dq.sub.i]/dt = [derivada parcial]H/[derivada parcial][p.sub.i] [dp.sub.i]/dt = -[derivada parcial]H/[derivada parcial][q.sub.i]
donde el hamiltoniano H = H([q.sub.i], [p.sub.i]) representa la energía mecánica total [E.sub.M] del sistema [S.sup.M] Las soluciones [q.sub.i](t) y [p.sub.i](t) representan la evolución temporal del sistema, dadas las condiciones iniciales [q.sub.i0] y [p.sub.i0]. En algunas ocasiones resulta conveniente representar la evolución dinámica del sistema [S.sup.M] mediante un operador [U.sub.t] tal que:
([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) = [U.sub.t]([q.sub.i0], [p.sub.i0])
En el lenguaje del espacio de las fases, donde x = ([q.sub.i], [p.sub.i]):
x(t) = [U.sub.t] [x.sub.0]
Puede demostrarse que las ecuaciones de Hamilton cumplen las condiciones necesarias para asegurar la existencia y unicidad de sus soluciones para cada condición inicial: (1) dado ([q.sub.i0], [p.sub.i0]), existe una única solución ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) de dichas ecuaciones, solución que describe la evolución mecánica del sistema. En el espacio de las fases [GAMMA], tal evolución queda representada por una trayectoria x(t) = ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) que pasa por el punto [x.sub.0] = ([q.sub.i0], [p.sub.i0]) en t = 0. Las condiciones de existencia y unicidad también pueden expresarse en lenguaje geométrico: para cada punto representativo del estado inicial, la trayectoria que en él se inicia existe y es única; además, dado que no hay restricciones para fijar el estado inicial del sistema [S.sup.M] las trayectorias no pueden cortarse en ningún punto; es decir, no existe ningún estado mecánico a partir del cual el sistema evolucione temporalmente según dos o más trayectorias posibles.
Dado que [S.sup.M] es un sistema aislado, H([q.sub.i], [p.sub.i]) = [E.sub.M] es una constante de movimiento del sistema, que define una hipersuperficie [[GAMMA].sub.E] [subconjunto] [GAMMA] de dimensión d - 1, donde d = 2nN es la dimensión del espacio de las fases:
[[GAMMA].sub.E] = {x = (q, p): H(q, p) = [E.sub.M]}
Por lo tanto, todas las posibles evoluciones del sistema estarán representadas por trayectorias incluidas en [[GAMMA].sub.E].
Un importante resultado que se cumple en este tipo de sistemas mecánicos --conservativos-- es el teorema de Liouville. Sea p(q, p) una función que define una medida [my] sobre F tal que:
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
La medida de un conjunto A [subconjunto] F se define:
[my](A) = [[integral].sub.A] [rho](q, p)d[GAMMA] donde d[GAMMA] = d[q.sub.i]d[p.sub.i]
El teorema de Liouville demuestra que [d.sub.[rho]/dt = 0, y esto implica que la medida [my] se preserva a través de la evolución:
[my]([U.sub.t]A) = [my](A)
Intuitivamente, si se parte de una función [rho] cuyo soporte (2) se encuentra...
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