Expresabilidad, Validez y Recursos lógicos.
| Autor | Alejandro Barrio, Eduardo |
| Cargo | Ensayo crítico |
El teorema de indefinibilidad de la verdad (Tarski 1935) muestra que, bajo la lógica clásica, ninguna teoría consistente capaz de expresar la aritmética puede probar todas las instancias del esquema-T y, por lo tanto, definir su propio predicado veritativo. Una manera frecuente de interpretar este resultado es que la verdad es inexpresable dentro de esas teorías usando simplemente esos recursos lógico-aritméticos. El propósito de este artículo es investigar cuáles son los resultados limitativos correspondientes al concepto de validez. Dados los tradicionales vínculos entre este concepto y el de verdad, podría pensarse que hay una extensión directa desde el resultado de Tarski a cualquier intento de expresar validez adoptando los mismos recursos necesarios para la prueba del mencionado teorema. Sin embargo, puede probarse (Ketland 2012) que, a diferencia de lo que sucede con verdad, la aritmética de Peano tiene recursos suficientes para capturar validez lógica para las teorías de primer orden. Esto es, si se contrasta con el caso de la paradoja del mentiroso, no hay una paradoja de la validez adoptando recursos lógico-aritméticos dentro de lenguajes de primer orden (Ketland 2012, Cook 2014). No obstante, en este trabajo argumento que este resultado no basta para mostrar que no existen paradojas alrededor de la validez lógica. En particular, sostengo que si se adoptan más recursos expresivos que los correspondientes a la lógica clásica de primer orden, el predicado de validez, al igual que el predicado veritativo, no puede expresarse consistentemente usando recursos aritméticos. Así, ninguna teoría lógica de orden superior con semántica estándar puede tener recursos expresivos suficientes para capturar su propio concepto de validez. Esto significa que, para estas teorías, la pretensión de extender los recursos dentro del lenguaje para expresar validez produce trivialidad: hay una paradoja, de estructura similar a la paradoja de Curry, que nos impide expresar el mencionado concepto lógico. Tal paradoja ha recibido el nombre de paradoja de validez (V-Curry). Por último, recientemente muchos han sido los intentos por modificar la lógica clásica a la luz de las paradojas semánticas. Quizá, el más importante es el enfoque de Hartry Field (2008). Defiendo que la pretensión de extender los recursos de esa "lógica de la verdad transparente" para expresar validez dentro del lenguaje conduce a resultados limitativos similares.
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La paradoja de la validez
La idea de desarrollar lenguajes semánticamente cerrados, i.e., que contengan todas sus nociones semánticas sin obtener trivialidad, incluye la necesidad de expresar validez lógica (la cual es obviamente distinta del condicional material). Claro que la paradoja del mentiroso ha provocado todo tipo de intentos para revisar las leyes lógicas, en especial aquellas vinculadas a la negación. Los más conocidos son los enfoques paracompletos (Kripke 1975, Field 2008), que básicamente rechazan el principio del tercero excluido, adoptando modelos kripkeanos de punto fijo, y los enfoques paraconsistentes (Priest 2006, Beall 2009), que en esencia rechazan la ley de explosión, adoptando modelos que permiten dialetheias. (1) También es ampliamente conocido que ambas estrategias tienen dificultades para expresar el concepto de negación y evitar las revanchas: esto es, nuevas paradojas que surgen al incorporar conceptos semánticos como resultado de una solución tentativa a la paradoja original.
En los últimos años, la paradoja de Curry ha permitido darnos cuenta de que la revisión de la lógica de la negación no es suficiente para la solución a los problemas expresivos vinculados a las paradojas semánticas. Hace falta, además, producir modificaciones vinculadas a las leyes del condicional material. Es claro que uno de los desafíos actuales más importantes para aquellos que trabajan en el proyecto de revisar la lógica a la luz de las paradojas semánticas es encontrar una lógica con un condicional apropiado que no permita derivar la paradoja de Curry. En cualquier caso, sea este proyecto posible o no, los vínculos entre validez y transmisión de verdad nos hacen sospechar que la tarea de desarrollar una lógica dentro de un lenguaje capaz de expresar validez podría no ser sencilla. Veámoslo detenidamente.
Diversos autores han argumentado que validez, al igual que verdad, es un concepto contaminado con paradojas (Whittle 2004, Field 2008, Shapiro 2011, Beall y Murzi 2013, Murzi 2014, Murzi y Shapiro en prensa). (2) Para apreciar el punto, sea L un lenguaje de primer orden capaz de expresar la aritmética (PA), lo cual resulta conveniente por la necesidad de expresar oraciones autorreferenciales. Por lo general, usamos diagonalización a tales efectos. La estrategia que propone capturar validez en forma predicativa tiene diversas opciones de acuerdo con la aridad del predicado de validez. Un modo simple de plantear el problema es tomar el caso en el cual tenemos una sola premisa. Sea L+ el resultado de agregar a L un predicado de validez diádico Val(..., ...), tal que Val(, ) valga si y sólo si el argumento que parte de [FI] y concluye VÜ es lógicamente válido. (3) La idea es que ese predicado sea primitivo. Por supuesto, requerimos dar una explicación del comportamiento "lógico" de esa expresión en el lenguaje. Aquí, [VS.sub.1] y [VS.sub.2] cumplen esta función:
[VS.sub.1]: Para toda fórmula [FI] y [PSI]:
Si: [FI] [??] [PSI]
Entonces: [EXPRESSION MATHÉMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII]
[VS.sub.1] codifica de manera natural la idea según la cual si tenemos una prueba de [PSI] desde [FI], entonces el argumento con [FI] como premisa y ÜZ como conclusión es válido.
[EXPRESSION MATHÉMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII]
[VS.sub.2] expresa que si un argumento es válido y aceptamos sus premisas, entonces aceptamos su conclusión.
Debe notarse que en ambas reglas, la noción de "[??]" intenta capturar la noción de prueba de la lógica correspondiente al lenguaje L+. Con todos estos requisitos, que parecen admisibles, estamos en condiciones de formular la primera paradoja de la validez. En primer lugar, dado que hemos adoptado un L+ capaz de expresar la aritmética, aplicamos el lema de diagonalización al predicado:
Val(x, )
para obtener una oración tipo Curry tal que:
K [flecha diestra y siniestra] Val(
, ) En este punto, usando principios intuitivos para la validez, podemos derivar una paradoja que, por su semejanza con la de Curry, denominamos V-Curry:
[1] K Suposición para la aplicación de [VS.sub.1] [2] Val(
, ) 1, diagonalización [3] K [flecha diestra] [perpendicular a] 2, [VS.sub.2] [4] [perpendicular a] 1, 3 [5] Val( , ) 1-4, [VS.sub.1] [6] K [flecha diestra] [perpendicular a] 5, [VS.sub.2] [7] K 5, diagonalización [8] [perpendicular a] 6, 7 Ésta es la paradoja que se describe en Beall y Murzi (2013). Los recursos asumidos para obtener trivialidad son: i) Lógica
ii) Aritmética de primer orden
iii) [VS.sub.1] y [VS.sub.2]
Nótese que esta versión de V-Curry presenta semejanzas con la paradoja de Curry tradicional. Al igual que lo que sucede en este último caso, en esta versión se pone en evidencia el uso de las reglas lógicas del condicional. Así, [VS.sub.2] parece requerir que Val cumpla la versión correspondiente de Seudo Modus Ponens:
[EXPRESSION MATHÉMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII]
ya que deberíamos esperar que si Val(, ), entonces siempre que sea Val(), también será Val(). Y [VS.sub.1] parece requerir que Val cumpla con la siguiente versión restringida del teorema de la deducción:
TD Si [FI] [??] [PSI], entonces [conjunto vacío] [??] Val(, )
ya que deberíamos esperar que, si cumple que hay una prueba de Ü/ a partir de [FI], tiene que cumplirse que hay una prueba sin el uso de ningún supuesto adicional de que Val(, ). Por supuesto, dados los recursos "lógicos" que parecen estar siendo utilizados (MP, SMP, TD) para obtener trivialidad en L+ podríamos estar tentados a pensar que existe una paradoja de la validez lógica para los lenguajes clásicos de primer orden. Más adelante veremos que hay dificultades con esta idea.
Por otra parte, dados los vínculos entre las nociones de consecuencia lógica y validez universal puede resultar útil (además de simplificadora) la siguiente versión de la paradoja. Sea L+ el resultado de agregar a L un predicado monádico Val(...), tal que Val() si y sólo si [FI] es válida universalmente. Puesto que hemos introducido un "nuevo" predicado, esto es, un predicado primitivo cuya interpretación pretendida es que se aplique a y sólo a aquellas fórmulas de L+ que sean lógicamente verdaderas, de nuevo necesitamos reglas que nos indiquen cómo usar correctamente este predicado. La idea es que validez, al igual que verdad, debería cumplir algunos simples principios intuitivos. Sean [VS.sub.1] y [VS.sub.2] las reglas que nos permiten introducir y eliminar el predicado en cuestión:
[EXPRESSION MATHÉMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII]
De manera intuitiva, las reglas nos dicen que todo teorema es válido y que, si hay una prueba de que algo es válido, hay que aceptarlo. Al simplemente aceptar estos principios parece poder formularse una paradoja que por diagonalización introduzca una oración que afirma de sí misma que no es válida. Esto es, por PA, puede obtenerse en L+ una oración tal que:
K [flecha diestra y siniestra] [??] Val(
) Aquí, es fácil ver cómo trivializar estos principios usando pocos recursos. Llamo V-Curry a esta derivación de trivialidad. (4)
[1] [??] K [flecha diestra] Val (
) Diagonalización [2] Val( ) [flecha diestra] K [VS.sub.2] [3] [??] K [flecha diestra] K [1] y [2] [4] K [3] [5] Val{ ) [VS.sub.1] y [4] [6] [??] Val( ) [4|, oración diagonal De esta manera, se obtiene como teorema en la teoría resultante de agregar a PA las reglas [VS.sub.2] y [VS.sub.1], una oración que afirma que no es válida. Al igual que con la oración del mentiroso, es un ejercicio fácil derivar una inconsistencia aplicando la lógica clásica. Los recursos que se han usado son: i)...
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