¿Es necesariamente verdadero que, si un enunciado geométrico es verdadero, es necesariamente verdadero?
| Autor | Méndez Pinto, Emilio |
[Is It Necessarily True that if a Geometric Statement Is True, It Is Necessarily True?]
En este ensayo sostengo que el enunciado geométrico euclidiano "La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180" es 1) contingentemente verdadero y 2) puede ser a priori. (1) Para mostrar la validez de 1), es pertinente refutar la pretendida validez universal de la afirmación de Ramsey 2013 (p. 13) de que, ya que la geometría consiste en tautologías y ya que las tautologías son verdades necesarias, las verdades geométricas son necesariamente verdades necesarias, (2) así como refutar la pretendida validez universal de la afirmación de Kripke 2005 (p. 156) de que "el carácter peculiar de las proposiciones matemáticas es tal que uno sabe (a priori) que no pueden ser contingentemente verdaderas".
A fin de mostrar la validez de 2), es pertinente dar cuenta de una concepción convincente de lo a priori y lo a posteriori que nos permita no sólo sostener que el enunciado "La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180" puede ser a priori, sino también que no tiene que serlo. Creo que la concepción fregeana de lo a priori y lo a posteriori, a diferencia de la concepción kantiana sobre los mismos términos, es una concepción convincente en este sentido. (Dicho sea de paso, también lo sería la concepción kripkeana, porque de acuerdo con ella también es cierto que una verdad puede ser a priori sin tener que serlo, si no fuese por el hecho de que, para Kripke, una proposición matemática verdadera no puede ser contingentemente verdadera, condición que contradice a 1).)
En realidad, si entendemos que decir "un enunciado geométrico euclidiano puede ser a priori, aunque no tenga que serlo" es algo muy cercano a decir "un enunciado geométrico euclidiano bien puede ser a priori, pero igualmente bien puede ser a posteriori", entonces nuestro trabajo en este aspecto ya está virtualmente hecho sin ninguna necesidad de investigación filosófica adicional. En efecto, ésa es la postura epistemológica que, incluso con más fuerza (sosteniendo que nuestro enunciado geométrico euclidiano es a posteriori), sostuvieron Gauss con respecto al carácter epistemológico del enunciado euclidiano relativo a la suma de los ángulos internos de un triángulo y Riemann con respecto al carácter epistemológico de los enunciados euclidianos en general. Sin embargo, incluso así, como consuelo nos queda el "resquicio filosófico" de intentar determinar ya no por qué el enunciado "La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180" tiene o no tiene que ser a priori, sino por qué puede o no serlo. (3)
Dos problemas que resultan de considerar los términos "tautología" y "verdad necesaria" sinónimos intercambiables
La tesis de Ramsey de que las verdades geométricas son necesariamente verdades necesarias descansa en la premisa de que la geometría consiste en tautologías y en la premisa (putativa, para sus propósitos) (4) de que las tautologías son verdades necesarias. Pongamos nuestra atención en la premisa putativa y preguntémonos: ¿es el caso que, para Ramsey, si bien las tautologías son necesariamente verdades necesarias, las verdades necesarias no son necesariamente tautologías? La respuesta a esta pregunta es un rotundo no porque, en lo que llamaremos la "teoría modal de Ramsey", las tautologías equivalen a verdades necesarias, del mismo modo que las contradicciones equivalen a verdades imposibles. Esto significa, para la misma teoría, tres cosas más. En primer lugar, que una proposición tautológica concuerda con todas las posibilidades de verdad, mientras que una proposición contradictoria no concuerda con ninguna posibilidad de verdad. (5) En segundo lugar, que ni las proposiciones tautológicas ni las contradictorias son proposiciones genuinas, porque no dicen nada sobre los hechos del mundo. En tercer lugar, que la negación de una tautología implica una contradicción, y viceversa, independientemente de su grado de complejidad.
Así pues, si se considera un solo argumento, la tabla de verdad de "p [disyunción] [sin correspondencia] p" es:
p V V F V La tabla de verdad de "p [además] [sin correspondencia] p" es:
p V F F F Según lo anterior, la proposición "p [disyunción] [sin correspondencia] p" es tautológica (= concuerda con todas las posibilidades de verdad) porque es verdadera independientemente de la afirmación o de la negación de p, mientras que la proposición "p [además] [sin correspondencia] p" es contradictoria (= no concuerda con ninguna posibilidad de verdad) porque es falsa independientemente de la afirmación o de la negación de p. Tanto p [disyunción] [sin correspondencia] como p [además] [sin correspondencia] p son proposiciones no genuinas (degeneradas, como las llama Ramsey) porque no sabemos nada sobre el mundo si lo único que sabemos es, o bien que llueve o no llueve (Wittgenstein 2009, p. 84), o bien que ni llueve ni no llueve.
Estas tesis ramseyanas nos comprometen, en mi opinión, con dos posturas filosóficas. En primer lugar, con la postura según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones matemáticas sintéticas, esto es, proposiciones matemáticas que nos den información sobre el mundo (esto se sigue del logicismo de Ramsey, según el cual todas las proposiciones matemáticas verdaderas son meras tautologías y todas las proposiciones matemáticas falsas son meras contradicciones). En segundo lugar, nos compromete con la postura según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones a posteriori necesariamente verdaderas (esto se sigue de la intercambiabilidad sinonímica entre "tautología" y "proposición necesariamente verdadera", así como entre "contradicción" y "proposición imposiblemente verdadera").
Dos objeciones al primer compromiso
Llamemos compromiso analítico o sintáctico-lógico al compromiso con la postura filosófica según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones matemáticas sintéticas. Este compromiso puede resumirse como sigue: ante la proposición "a = b", si a y b son nombres de la misma cosa, entonces "a = b" es una tautología porque, en términos wittgensteinianos, decir que algo es idéntico a sí mismo es no decir absolutamente nada (Wittgenstein 2009, p. 106), mientras que, en términos ramseyanos, "a = b" no dice nada genuinamente si a y b denotan lo mismo. (6) Según la filosofía matemática de Ramsey, si a = 2 + 2 y b = 4, a y b son símbolos equivalentes, porque las proposiciones "Tengo 2 + 2 x" y "Tengo 4 x" son la misma proposición en cuanto que son la misma función de verdad de proposiciones atómicas (i.e., afirman el mismo hecho). En cambio, si en la proposición "a = b" a y b son nombres de cosas distintas, "a = b" es una contradicción porque, en términos wittgensteinianos, es un absurdo decir que dos cosas son mutuamente idénticas (Wittgenstein 2009, p. 106), mientras que, en términos ramseyanos, "a = b" no dice nada genuinamente si a y b denotan cosas distintas. Para el caso matemático, donde ahora, por ejemplo, a = 2 + 3 y b = 4, a y b no son símbolos equivalentes porque las proposiciones "Tengo 2 + 3 x" y "Tengo 4 x" no son la misma proposición en cuanto que no son la misma función de verdad de proposiciones atómicas (i.e., no afirman el mismo hecho).
Según este compromiso filosófico, toda proposición matemática verdadera es una proposición tautológica, mientras que toda proposición matemática falsa es una mera contradicción. Ahora bien, ¿qué tan cierto es esto? Dejemos de lado las proposiciones de las matemáticas aplicadas (proposiciones cuya verdad, siguiendo a Russell 2010, pp. 108114, depende de algo más que de la forma de la proposición), así como las proposiciones falsas de las matemáticas puras (proposiciones que, siguiendo a Rayo 2015, p. 84, (7) tienen condiciones de verdad imposibles), y pongamos nuestra atención en las proposiciones verdaderas de las matemáticas puras.
Considerar a detalle la célebre "contradicción irresoluble" de Poincaré 2001 (p. 9) (8) sobre la mismísima posibilidad de las matemáticas, así como lo que de ella puede seguirse, nos permite poner en seria duda la tesis ramseyana de que las proposiciones verdaderas de las matemáticas puras son meras tautologías. La "contradicción irresoluble" de Poincaré se sustenta en dos supuestos prima facie difícilmente controvertibles relativos a la naturaleza de las matemáticas (puras) y de sus proposiciones, a saber, que 1) las matemáticas son una ciencia deductiva sólo en apariencia (habida cuenta de la importancia fundamental de la inducción matemática en el razonamiento matemático) (9) y que 2) las proposiciones matemáticas pueden derivarse en orden mediante las reglas de la lógica formal. (10) Ahora bien, si 1) es verdad, ¿cómo es que las matemáticas pueden alcanzar un "rigor perfecto" que no es desafiado por nadie? Por otra parte, si 2) es verdad, ¿cómo es que las matemáticas no se reducen a una "gigantesca tautología", a una forma indirecta de decir que A = A? Ésta es la "contradicción irresoluble" de Poincaré con respecto a la mismísima posibilidad de las matemáticas.
Creo que una solución verosímil a esta contradicción pasa, cuando menos, por compatibilizar el hecho de que las matemáticas (puras) poseen un "rigor perfecto" indesafiable con el hecho de que las matemáticas (puras) no son una gigantesca tautología. Esta solución no es fácil, porque parecería que las proposiciones no sujetas a ningún tipo de desafío son los silogismos y las relaciones de identidad. Pero los silogismos son meras tautologías en al menos un sentido del término "tautología": no nos dan información sobre el mundo, mientras que las relaciones de identidad son meras tautologías en al menos un sentido (el sentido de Ramsey) del término "tautología": concuerdan con todas las posibilidades de verdad. (11) Por otro lado, si las matemáticas no poseyeran un "rigor perfecto", entonces el que no se reduzcan a una "gigantesca tautología" no supondría ningún misterio; si, en cambio, las matemáticas se redujeran a una "gigantesca...
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