Ejemplos de equilibrios económicos walrasianos

AutorJorge Ruiz Moreno; Salvador Ferrer Ramírez
CargoProfesores-investigadores de la División de CSH, UAM-X
Páginas215-231

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¿Cómo es una economía en equilibrio económico general? Aquí presentamos dos ejemplos, probando que en efecto son equilibrios.

Introducción

Desde los años sesenta se ha venido desarrollando un programa de investigación que gira en torno a la problemática iniciada por las obras de G. Debreu y K. Arrow. Los modelos económicos llamados Arrow-Debreu resuelven un viejoPage 216 problema: ¿cómo es una economía descentralizada, motivada por el interés individual y guiada por señales de los precios, que sea compatible con una disposición coherente de los recursos económicos? Una segunda cuestión que se ataca, una vez resuelto el problema anterior, es ¿la economía podría ser cierta? La respuesta positiva a estas preguntas se resuelven con los teoremas de existencia y bienestar: que se enuncian como sigue.

En una economía de mercados completos, competitiva y conjuntos de consumo y producción convexos existe un sistema de precios y actividades de producción y consumo para los agentes económicos que conforman el equilibrio económico. Todo bajo el supuesto de un comportamiento racional en los agentes.

Si las tres hipótesis anteriores son válidas, entonces todo equilibrio competitivo es óptimo de Pareto.

Cualquier óptimo de Pareto puede descentralizarse en un equilibrio competitivo, para un vector de precios anunciado de antemano y distribución previa de recursos.

El planteamiento anterior abre una serie de cuestionamientos y nuevas líneas de investigación. Se plantea la forma de cómo este modelo puede sobrevivir si las hipótesis en las cuales se basa son levantadas; se han realizado modelos donde no se consideran supuestos como:

• Mercados completos (existe un mercado presente y futuro para todos los bienes, con información perfecta)

• Mercados competitivos (agentes tomadores de precios)

• Conjuntos de consumo y producción convexos

• En general, tres son los campos del debate:

• Existencia del equilibrio

• Estabilidad del equilibrio

• Alternativas: la teoría del desequilibrio

Aquí presentaremos con algunas modificaciones diferentes un modelo basado en la estructura Arrow-Debreu, las cuales saltan a la vista: las dotaciones iniciales están en manos de las firmas, la tecnología está determinada por una matriz de coeficientes técnicos, lo cual lleva a realizar un modelo lineal, también se considera una matriz de capital fijo. El supuesto de que los consumidores sean propietarios de las firmas es común en dichos modelos. La forma de funcionamiento del modelo es similar al planteado por Arrow-Debreu.

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La demostración del teorema de existencia del equilibrio económico, en este modelo, fue realizada por Jacob T. Schwartz en el libro Lectures on the Mathemaíical Method in Analytical Economics.

El objetivo del presente trabajo es dar dos ejemplos de equilibrios económicos, sin entrar al problema de los óptimos de Pareto. Un primer ejemplo, donde la ganancia por producir una unidad de cualquier bien es negativa, por lo cual la producción como el consumo son nulos, y lo mismo ocurre para el salario pero donde los precios que rigen son positivos. En el segundo, tanto el salario y el sistema de precios es positivo, el consumo agregado conlleva a la producción positiva pero los beneficios son nulos.

Los ejemplos muestran situaciones posibles para una economía de equilibrio económico walrasiano, el primer ejemplo es una situación en la que la inactividad o el cruzarse de brazos es lo óptimo para los agentes. En el segundo ejemplo hay producción y consumo por parte de las firmas y familias pero las ganancias son nulas. Existen otras posibles situaciones de equilibrio, que de momento no se consideran.

El presente trabajo ha sido discutido en el Seminario de Economía Matemática y Teoría de Juegos del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias/UNAM. A sus integrantes agradecemos su valiosa colaboración. En particular a Paloma Zapata, Alma Jiménez, César Souza, José Ibarra y Sergio Hernández. Todo error se debe a quienes realizaron el trabajo.

Economías de propiedad privada
Los elementos exógenos del modelo

Los elementos de los cuales consta una economía £ de propiedad privada son:

1) i mercancías o bienes y fuerza de trabajo.

2) m consumidores:

Cada consumidor i - 1, 2,..., m está caracterizado por los siguientes elementos:

Un Dix Xi c Re+1 conjunto de planes de descanso-consumo distinto del vacío.

Un preorden de preferencias Dix Xi.

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Una función U i: D i x X i -> R de utilidad asociada a la relación de preferencia -

3) n firmas:

Cada firma j =1,2, ..., n, tiene un vector columna de recursos iniciales (Qj) t (Qj, Qj •••,Q¡)t semipositivo; la entrada Qj h indica la cantidad del bien h que tiene la firma j en el inicio del proceso productivo.

4) Una matriz de coeficientes técnicos A = (a hk) ^ 0 de tamaño i x i.

5) Una matriz de "capital fijo" B = (bhk) >0 del mismo tamaño que .A

6) Un vector renglón de trabajo vivo L = (1,, 12,...,1,) > 0.

7) Las firmas están repartidas entre los consumidores. La matriz

[VEA LA MATRIZ EN EL PDF ADJUNTO]

representa esta repartición. Aquí 0ij es la fracción que el consumidor i tiene de la firma y. El renglón i representa las fracciones que posee el consumidor i de cada una de las firmas. Al sumar los elementos de la columna j se tiene

[VEA LA FÓRMULA EN EL PDF ADJUNTO]

lo cual significa que la firma j es propiedad de los consumidores.

8) Existe un periodo de producción fijo T > 0.

Expliquemos brevemente cada uno de estos puntos

El punto uno indica que existen t + 1 mercados. El punto 2 caracteriza a cada consumidor, cada elemento de Di x es de la forma (d¡, xj) que llamaremos plan de descanso-consumo, D¡ = [0, T], es el conjunto de descanso para i y d¿ es descanso que realiza el consumidor durante el periodo T; xi es un vector dePage 219 consumo de í entradas (x1t, x2-, ..., xhi, ..., x¡), aquí xhi indica la cantidad del bien h que puede demandar el individuo i; esta demanda se realiza al final de T, xht es nulo o positivo por lo...

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