Definiciones implícitas y unicidad en el programa neologicista.
| Autor | Rosenblatt, Lucas |
| Cargo | Ensayo cr |
Resumen: En este trabajo presento un problema que afecta al programa neologicista que han defendido en varias ocasiones Crispin Wright y Bob Hale. En particular, argumento que Wright y Hale no han dado suficientes condiciones para separar las definiciones implícitas apropiadas como el principio de Hume de otras definiciones implícitas rivales como la aritmética de Peano de segundo orden. Sugiero, además, que esa tarea sólo puede realizarse adecuadamente si una de las condiciones propuestas es la condición de que toda definición implícita sea unívoca.
Palabras clave: neofregeanismo, teorema de Frege, aritmética de Peano, definiciones implícitas, unicidad
Abstract: In this paper I consider a problem affecting the Neologicist Program advocated on many occasions by Bob Hale and Crispin Wright. In par+ticular, I argue that Hale and Wright have not given enough conditions to separate appropriate implicit definitions such as Hume's Principle from rival implicit definitions like Second-Order Peano Arithmetic. I also suggest that this task can only be performed adequately if one of the proposed conditions is that every implicit definition be univocal.
Key words: neo-Fregeanism, Frege's theorem, Peano arithmetic, implicit definitions, uniqueness
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Introducción
En su clásico Frege's Conception of Numbers as Objects, Crispin Wright sugirió que es posible derivar los axiomas de Peano de la equivalencia conocida como principio de Hume mediante una lógica de segundo orden apropiada. Este resultado es el punto de partida de una posición filosófica que hoy se conoce como "neologicismo". (1)
Los neologicistas usualmente formulan el principio de Hume (que abreviaremos PH) con un lenguaje de segundo orden (que incluye un predicado de identidad y un operador #) de la siguiente forma:
PH [atañe a todos]F [atañe a todos]G(#(F) = #(G) [flecha diestra y siniestra] F [aproximadamente igual a] G)
donde "[aproximadamente igual a]" denota la relación de equivalencia numérica (definible por medio de una fórmula pura de segundo orden), "#" representa una función que toma como argumento un concepto (o alguna entidad similar) y nos entrega como valor un objeto (un número), y "F" y "G" son variables de segundo orden. Está claro que "#(F)" es un término singular que debe leerse como el número de las F. (2) Por lo tanto, PH establece una equivalencia entre la noción de identidad numérica y la noción de relación biunívoca (correspondencia uno-a-uno).
Hay en realidad diversas posiciones que pueden recibir el nombre "neologicismo". En su variante más conocida, la defendida por Bob Hale y el mismo Wright (de aquí en adelante HyW), (3) se establece que si colocamos a PH en conjunción con axiomas de un sistema lógico de segundo orden adecuado, es posible derivar (enunciados definicionalmente equivalentes a) los axiomas aritméticos usuales. Este resultado, conocido con el nombre de "teorema de Frege", va acompañado por una prueba de consistencia relativa que muestra que el sistema formado por una lógica apropiada de segundo orden y PH (que llamaré de aquí en adelante FA, por "aritmética fregeana") es consistente si y sólo si la aritmética de Peano de segundo orden (que abreviaré [PA.sub.2]) es consistente. (4)
En manos de HyW estos resultados se convierten en el punto de partida de una especie de fundacionismo epistemológico y ontológico. El primer tipo de fundacionismo, que es el único que discutiré aquí, puede explicarse de la siguiente forma. Se pretende justificar nuestro conocimiento aritmético (5) anclándolo en nuestro conocimiento de principios lógicos (de segundo orden) y en nuestro conocimiento de PH. El procedimiento consiste en estipular la verdad de PH y hacer que este principio funcione como una definición implícita de #. Suponiendo por el momento que las estipulaciones de este tipo no son problemáticas (más tarde tendremos tiempo de analizar esto con detenimiento) y son epistémicamente útiles, en el sentido de que nos otorgan cierta garantía para creer en la verdad de lo estipulado, la idea es ver si podemos adquirir una justificación a priori para creer en la verdad de las leyes aritméticas. Como, por el teorema de Frege, sabemos que la aritmética puede derivarse de PH y de principios lógicos de segundo orden, bajo la suposición de que los principios lógicos son justificables a priori y que PH es un enunciado analítico (y por lo tanto también justificable a priori), se sigue que también la aritmética es justificable a priori.
Lo que pretendo hacer es discutir un problema que surge de una posición como la anterior. Para determinar si PH (o FA) (6) logra otorgarle de manera adecuada algún valor semántico a # y logra generar alguna garantía a priori para creer en la verdad de los enunciados que incluyen #, es necesario tener alguna teoría general que nos indique cuándo una definición implícita es apropiada. Con esta intención, HyW ofrecen una serie de condiciones para separar las definiciones implícitas apropiadas como PH de otras definiciones implícitas rivales como la aritmética de Peano de segundo orden. Argumentaré primero que las condiciones que HyW han ofrecido no son suficientes para ese propósito y, segundo, que es necesario introducir una condición adicional, la condición de que una definición implícita sea unívoca.
El resto del artículo se estructura del siguiente modo. En la sección 2 presentaré el aparato lógico necesario para comprender los aspectos formales de la posición neologicista que discutiré; en particular, introduciré la lógica subyacente que el neologicista necesita para probar el teorema de Frege. En la sección 3 consideraré las observaciones de HyW en torno a las condiciones de adecuación de las definiciones implícitas y sugeriré, por un lado, que éstas son insuficientes y, por otro, que la unicidad debe ser una de estas condiciones, algo que HyW no comparten. La sección 4 contiene algunas observaciones finales.
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Lógica de segundo orden libre
Sea [L.sub.2] un lenguaje de segundo orden. (7) Además de contar con variables individuales ([x.sub.1], [x.sub.2], [x.sub.3], ...), conectivas y cuantificadores de primer orden ([atañe a todos]x y [existente en]x), el vocabulario de [L.sub.2] tiene variables de predicado n-ádicas ([X.sup.n.sub.1], [X.sup.n.sub.2], [X.sup.n.sub.3], ...) (8) y cuantificadores de segundo orden ([atañe a todos]X y [existente en]X). Por cuestiones de legibilidad, en ocasiones usaré las letras F, G, H, R, etc., como variables de predicado en lugar de [X.sup.n.sub.i], y usaré y, z, w, etc., como variables individuales en lugar de x¿. Supondré también que [L.sub.2] contiene el símbolo de función #, cuya interpretación intuitiva es "el número de las ...".
Es muy sencillo construir un sistema deductivo para [L.sub.2] añadiendo algunos axiomas y/o reglas a un sistema deductivo usual de primer orden. Llamemos [D.sub.2] a tal sistema. [D.sub.2] tiene reglas y/o axiomas que gobiernan el comportamiento de los cuantificadores de segundo orden y un axioma-esquema de comprensión con la siguiente forma:
Comp [existente en][X.sup.n] [atañe a todos][x.sub.1] ... [atañe a todos][x.sub.n]([X.sup.n][x.sub.1] ... [x.sub.n] [flecha diestra y siniestra] [fi] ([x.sub.1] ... [x.sub.n]))
donde [fi] no contiene ninguna variable libre además de [x.sub.1] ... [x.sub.n]. Este axioma afirma que toda fórmula [fi] ([x.sub.1] ... [x.sub.n]) del lenguaje [L.sub.2] que no tenga variables libres además de [x.sub.1] ... [x.sub.n] determina una relación. Si la fórmula [fi] ([x.sub.1] ... [x.sub.n]) contiene variables de orden superior ligadas, la instancia correspondiente se denomina "impredicativa"; en caso contrario, la instancia es "predicativa".
Ahora bien, de vuelta a PH, está claro que el lado derecho del bicondicional puede expresarse por medio de una fórmula pura de segundo orden, donde una fórmula pura de segundo orden es una fórmula de [L.sub.2] que no contiene ninguna aparición del operador #:
F [aproximadamente igual a] G = [sub.def] [existente en]R([atañe a todos]x(Fx [flecha diestra] [existente en] !y(Gy [conjunción] Rxy)) [conjunción] [atañe a todos]x(Gx [flecha diestra] [existente en] !y(Fy [conjunción] Rxy))) (9)
Algunas instancias de F [aproximadamente igual a] G son teoremas de [D.sub.2]. Por ejemplo, un caso sencillo es aquel en que reemplazamos tanto Fx como Gx por x [desigual a] x, que expresa el concepto de no ser idéntico a sí mismo, obteniendo así una fórmula que afirma la correspondencia biunívoca del concepto x [desigual a] consigo mismo. Esto permite, a través de PH, obtener el siguiente teorema en FA:
Como #(x [desigual a] x) es un término singular que denota un objeto, podemos obtener también [existente en]y(y = #(x [desigual a] x)), que afirma que existe un objeto que es el número de las cosas no idénticas a sí mismas. Si, por otra parte, aceptamos la siguiente definición:
0 = [sub.def] #(x [desigual a] x)
lo que se prueba es que existe el número 0. El resto de los números naturales se define básicamente de manera análoga a partir del 0:
1 = [sub.def] #(x = 0)
2 = [sub.def] #(x = 0 V x = 1)
...
n + 1 = [sub.def] #(x = 0 V ... V x = n)
Así, queda probado que cualquier colección finita de números naturales y, por lo tanto, cualquier número natural que podamos expresar, existe.
El lector habrá notado que [D.sub.2] y PH se combinan maravillosamente. Para producir (algunos) teoremas aritméticos, PH se alimenta de las instancias lógicas de su lado derecho, y estas instancias dependen del sistema deductivo que se emplee (en este caso, [D.sub.2]), en particular, de las instancias de Comp que se admitan.
Un rasgo interesante señalado por varios críticos del proyecto neologicista (Shapiro y Weir 2007; Potter y Smiley 2001; Rumfit 2003) es que la lógica subyacente del sistema de segundo orden empleado para probar el teorema de Frege es (debe ser) una lógica libre. La razón es que PH, qua definición implícita del operador numérico, debe funcionar como garante...
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