Algunas consecuencias filosoficas del trabajo de Kurt Godel *.
| Autor | Cardona Suarez, Carlos Alberto |
Resumen: El articulo presenta los argumentos que le permiten a Gödel defender el realismo platónico a partir de sus resultados de incompletitud. Se sostiene que hay un estrecho paralelismo con lo que podríamos denominar el fracaso del programa cartesiano. El programa cartesiano fracasó al querer mostrar la autonomía plena de la razón y tuvo que reconocer en la intuición sensorial otra fuente del conocimiento objetivo de los objetos externos. De la misma manera, el programa de Hilbert, como se deduce de los teoremas de incompletitud de Gödel, fracasó al querer mostrar la plena autonomía de la razón formalizada. En ese sentido, el único recurso que le queda al matemático para salvar el carácter descriptivo de sus proposiciones, a juicio de Gödel, es apoyarse en la intuición de los conceptos abstractos. El argumento de Gödel exige que la mente humana no se pueda reducir a un mecanismo. Esta segunda exigencia es también paralela a la defensa del dualismo cartesiano.
Palabras clave: intuición, incompletitud, platonismo, dualismo
Nada se edifica sobre la piedra, todo sobre la arena, pero nuestro deber es edificar como si fuera piedra la arena.
JORGE LUIS BORGES ([cruz])
Gödel es considerado como uno de los matemáticos más importantes del siglo XX, En eso no hay ninguna duda. En los últimos veinte años ha surgido un especial interés por sus ideas filosóficas. Este interés ha sido motivado particularmente por la transcripción de las conversaciones sostenidas por el matemático con su amigo Hao Wang. En el caso de las comunidades académicas de habla hispana ha sido especialmente relevante la publicación de algunos escritos inéditos de Gödel a cargo del profesor Rodríguez Consuegra. (1) El profesor Rodríguez sostiene, de una manera algo arriesgada, que las principales motivaciones de Gödel eran precisamente filosóficas, que el trabajo que culminó en los teoremas asociados con la incompletitud tenían como motivación central la defensa de alguna forma de platonismo. (2) Creo que no es necesario, a la hora de esclarecer las ideas filosóficas del lógico matemático, adoptar, a partir de un soporte tan débil, una tesis tan extrema. Por otra parte, las ideas filosóficas de Gödel, que han llegado a nosotros por intermedio de Hao Wang, suelen estar impregnadas de las intenciones filosóficas de su interlocutor. No es fácil discernir en tales escritos el peso relativo de las ideas originales de Gödel del peso que adquieren las sugerencias de Hao Wang. De cualquier manera, tales conversaciones aportan testimonios importantes que deben ser evaluados con las reservas del caso. En lo sucesivo me ocuparé de mostrar los argumentos que permiten reconstruir la defensa de alguna forma de platonismo a partir de algunas de las ideas que se derivan directamente de los escritos de Gödel. También pretendo mostrar que la defensa no alcanza cabalmente el propósito inicial.
Con el objeto de ubicar el contexto de la discusión deseo presentar inicialmente la taxonomía del problema que se deriva de la contribución de Mark Balaguer en su libro: Platonism and Anti-Platonism. (3) El platonismo matemático puede ser presentado en varias versiones, de las cuales por el momento me interesa resaltar dos. La primera es una versión débil que puede formularse en los siguientes términos: (4)
(a) Existen objetos matemáticos tales como los números. Estos objetos no son espacio-temporales y existen independientemente de nosotros y de nuestra actividad teorizante.
(b) Nuestras teorías describen tales objetos.
La premisa (b) es fundamental, pues si afirmamos que hay objetos matemáticos pero que desafortunadamente no hay forma de conocerlos o de advertir su presencia, estaremos defendiendo una tesis inocua. Algo muy parecido a lo que ocurría con el clérigo que quería oponerse al descubrimiento de montañas en la Luna anunciado por Galileo. Este personaje sostenía que aunque pudiésemos ver montañas en la Luna, ella era en verdad esférica, pues estaba cubierta por una cúpula de cristal perfectamente esférica que por desgracia no podíamos contemplar haciendo uso del telescopio de Galileo ni de ningún instrumento óptico. (5)
La versión fuerte del platonismo se puede formular en estos términos: "Todo objeto matemáticamente posible existe." (6) De las dos versiones me interesa particularmente restringir el estudio al ámbito de la versión débil. Es decir, un platonismo comprometido con la existencia objetiva de los objetos matemáticos por fuera del espacio-tiempo, y no un platonismo que incorpore conceptos aún más complejos como el concepto de posibilidad lógica. (7)
Esta forma de plantear el platonismo da origen a dos tipos de respuestas antiplatónicas dependiendo de la actitud que se adopte frente a (a) o a (b). Por un lado, los antiplatónicos realistas, quienes defienden parcialmente (a), sostienen que, si bien las matemáticas describen alguna clase particular de objetos, tales objetos no son entidades abstractas no espaciotemporales. Los antiplatónicos realistas pueden defender que, o bien la matemática trata de objetos físicos (como lo hace el empirismo de J.S. Mili) y, en consecuencia, los matemáticos son descubridores; o bien la matemática trata de objetos mentales (como afirman Erdmann y Husserl) y los matemáticos son inventores. Por otro lado, los antiplatónicos antirrealistas, quienes se oponen completamente a (a) y a (b), sostienen que las matemáticas no describen ninguna clase de objetos. Es decir, las expresiones de la matemática carecen de contenido y, en consecuencia, no describen un particular estado de cosas en algún mundo posible. Conviene citar en este caso tres variantes de antiplatonismo antirrealista: (i) el convencionalismo sostiene que las proposiciones de la matemática son analíticamente verdaderas: son verdaderas en virtud del significado de sus términos; (ii) el deductivismo afirma que las expresiones de la matemática son expresiones de la forma: "es necesario que si A, entonces T"; (iii) el formalismo sostiene que las matemáticas ofrecen verdades que se sostienen en el marco de ciertos sistemas formales: la matemática se ocupa de la manipulación de ciertos signos sujetos a ciertas reglas formales de transformación. Estas versiones de antiplatonismo tienden a identificar verdad y demostrabilidad.
Una de las críticas más fuertes contra el platonismo se puede sintetizar en el argumento presentado por Benacerraf en su articulo ya clásico "Mathematical Truth". (8) A juicio de Paul Benacerraf, la filosofía de las matemáticas, es decir, la disciplina que pretende aportar un esquema racional para explicar la naturaleza tanto de las proposiciones matemáticas como de la actividad de los matemáticos, debe atender en forma articulada dos demandas complejas. Por un lado, cualquier teoría de la verdad matemática debe estar en conformidad con una teoría general de la verdad. En otras palabras, las adscripciones semánticas que asignemos a las proposiciones matemáticas deben ajustarse al mismo modelo con el cual hacemos adscripciones semánticas a otras proposiciones. Por otro lado, cualquier programa de investigación en filosofía de las matemáticas debe dar cuenta de la manera como obtenemos conocimiento matemático. En otras palabras, las condiciones de verdad de las proposiciones matemáticas no pueden hacer imposible para nosotros reconocer que ellas son satisfechas. En términos aún más claros, el concepto de verdad matemática debe encajar dentro de una explicación general del conocimiento en una forma tal que resulte inteligible cómo adquirimos nosotros el conocimiento matemático que poseemos. Las dos demandas se pueden resumir en los siguientes términos: una semántica adecuada para las matemáticas debe encajar en una epistemología aceptable. En ese orden de ideas, es posible advertir de antemano las dificultades del realismo platónico: si los términos matemáticos refieren a objetos no espacio-temporales, ¿cómo explicamos entonces el hecho de tener conocimiento de tales objetos con la epistemología aceptable?
Ahora bien, cuando Benacerraf habla de una epistemología aceptable tiene en mente una teoría causal del conocimiento. De hecho, Benacerraf se compromete también con una teoría causal de la referencia. (9) En gracia al desarrollo de la discusión, obviaremos por lo pronto las dificultades que se derivan de tan problemático compromiso. El núcleo central del argumento antiplatónico se puede presentar en los siguientes términos: los pretendidos objetos matemáticos abstractos no espacio-temporales son causalmente inertes. Recojamos la estructura del argumento de Benacerraf valiéndonos de la síntesis de Balaguer:
(1) los seres humanos existen enteramente en forma espacio-temporal;
(2) si hay objetos matemáticos abstractos, ellos existen por fuera del espacio-tiempo;
(3) aplicando la teoría causal del conocimiento: si existen objetos matemáticos abstractos, los seres humanos no podrían tener conocimiento de ellos;
(4) si el platonismo matemático es correcto, los seres humanos no podrían tener conocimientos matemáticos;
(5) los seres humanos tienen conocimientos matemáticos;
(6) luego: el platonismo matemático no es correcto.
Las respuestas de los platónicos se pueden clasificar en tres alternativas dependiendo de la actitud que se adopte frente a (1), (2) o (3). En primer lugar, es posible negar (1) y afirmar que los seres humanos no son enteramente espacio-temporales y que es posible hablar acerca del contacto con otros mundos. En particular, ésta parece ser la estrategia que se ajusta en forma más adecuada al pensamiento de Gödel. En segundo lugar, es posible negar (2) y afirmar que los seres humanos pueden adquirir información acerca de los objetos matemáticos por medios perceptuales. Esta alternativa es defendida por Maddy. (10) Por último, es posible negar (3) y apartarse de la teoría causal del conocimiento. Algunos defensores de tal alternativa son: Quine, Steiner, Parsons, Hale, Wright, Resnik. No obstante, conviene aclarar que un autor como...
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