Acerca de las parejas incongruentes y las figuras simétricas.
| Autor | Alvarez, Carlos |
RESUMEN: Kant plantea el problema de las parejas incongruentes en 1768, posteriormente en 1770 y 1783. Este problema, relacionado con su concepción acerca de la naturaleza del espacio, se vincula también con su idea sobre la naturaleza del conocimiento geométrico. Mi objetivo en este texto es analizar las observaciones de Kant sobre este punto --tres de las cuales son, a nuestro juicio, de suma relevancia-- a partir de la geometría sólida euclidiana, la que constituye precisamente el marco teórico en el cual él pretende que ellas incidan.
PALABRAS CLAVE: congruencia, igualdad, ángulo sólido, conocimiento geométrico
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Introducción
El caso de las parejas de cuerpos que son simétricos y que como tales son idénticos en todas sus partes pero que no son congruentes, i.e., que no es posible que uno de ellos cubra plenamente al otro, es analizado por Kant en tres ocasiones; la primera, en su pequeño opúsculo Del primer fundamento de la diferencia de las regiones del espacio (1768); dos años después en la De Mundi Sensibilis atque Intelligibilis Forma et Principiis, Dissertatio y, por último, en los Prolegómenos a toda metafísica futura (1783). (1) Nos parece claro que este recurso al ejemplo de las parejas incongruentes (2) deja ver hasta qué punto Kant toma conciencia de su importancia al considerar que más que una curiosidad, la explicación de este hecho le permite apuntalar su concepción acerca de la naturaleza del espacio.
En el periodo de 1768 a 1783, las ideas de Kant acerca del espacio evolucionan y pasan de una posición que busca probar la realidad propia del espacio absoluto, posición en la que parece aceptar plenamente la visión de Newton, a una posición característica del período crítico en el que abandona esta idea y en la cual el espacio es concebido como una intuición pura a partir de la cual es posible dar cuenta de las condiciones en las que la geometría es posible como ciencia pura. Pero ya sea que busque dar cuenta de la realidad del espacio al explorar filosóficamente, como lo declara en el opúsculo de 1768, el fundamento de aquello que Leibniz se proponía comprender matemáticamente a través del Analysis situs, o bien que pretenda establecer, como lo hará en 1783, el fundamento de una ciencia como lo es la geometría, la empresa de Kant requiere que la relación que guardan entre sí dos cuerpos simétricos y no congruentes sea plenamente explicada. Ello parece indicar que una clave para comprender la evolución de las concepciones kantianas sobre el espacio se encuentra en el modo en el que este problema es comprendido y asimilado. Sin embargo, mi objetivo en este texto no es analizar con detalle la evolución del pensamiento kantiano en torno de la naturaleza del espacio; más bien me propongo analizar los problemas geométricos a los que remite el ejemplo de las parejas incongruentes analizado por Kant. Con ello buscó comprender, desde esta perspectiva geométrica, la pertinencia de su visión ya que, como lo he dicho, su concepción del espacio se encuentra íntimamente ligada al modo en el que él entiende este problema. (3) Así, en la sección 2 comenzaré con una breve exposición de los tres momentos en que Kant recurre al ejemplo de las parejas incongruentes para que, una vez analizado con detalle el problema geométrico de la relación de simetría de los cuerpos en el espacio en la sección 3, podamos regresar a valorar la pertinencia y los límites de la comprensión de Kant acerca de este problema en la sección 4.
La sección 2 no pretende ser una exégesis de la filosofía de Kant, ni siquiera en lo que se refiere a su teoría del espacio. Mi objetivo se limita a dar cuenta de dos aspectos: por un lado, el modo en el que Kant entiende el problema de estas parejas incongruentes y el papel específico que éste ocupa en relación con la naturaleza del conocimiento geométrico; junto con ello quiero también explicar de qué modo Kant llega a concebir la relación entre las parejas incongruentes y si acaso para él esta relación tiene la misma condición que la relación entre las parejas congruentes; es decir, si la relación geométrica de simetría --que se refiere a dos cuerpos idénticos en todas sus partes, pero en los que uno de ellos no cubre plenamente al otro-- puede llegar a tener, y en qué condición, un valor similar al de la relación geométrica de congruencia, en la que además de la identidad en cada una de sus partes, una identidad global entre ambos permite que uno de ellos cubra plenamente al otro.
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De la interpretación filosófica al fundamento metafísico de una relación geométrica
El interés de Kant en torno de la naturaleza del espacio ha tenido como telón de fondo una interpretación acerca de la naturaleza del conocimiento geométrico; por ello siempre es pertinente preguntarse acerca de su conocimiento sobre la geometría, ya que si bien en general se ha dado por sentado que poseía un conocimiento sólido acerca de la ciencia newtoniana y la visión del espacio asociada a ella, en su texto de 1768, Regiones, él mismo señala que la reflexión que se impone para dar cuenta de la naturaleza absoluta --e independiente de toda materia-- del espacio no debe partir de la ciencia del movimiento sino, de la geometría. A pesar de que nos parece claro su conocimiento de la obra filosófica de Descartes, no es posible asegurar que estuviera familiarizado con la Géométrie de 1637. Por otro lado, si a partir de este opúsculo de 1768 es posible asegurar que Kant conocía el texto de Euler sobre el espacio y el tiempo publicado en 1750, no existe indicio alguno de que conociera el resto de la obra geométrica de Euler, particularmente su trabajo sobre poliedros y cuerpo sólidos que fue publicado tiempo después. (4) Sin embargo, podemos señalar con cierta seguridad, a partir de lo que él mismo deja ver, que Kant estaba familiarizado con algunos aspectos de la obra matemática de Leibniz, así como con la obra de Käistner. (5) Si bien la influencia de ambos nos parece clara en el ensayo de 1768, la relación que Kant establece con el pensamiento de Leibniz merece atención especial. A pesar de que su objetivo central en este texto es mostrar la realidad del espacio absoluto, y de este modo hacer patente su filiación newtoniana, tomando así partido en un debate que enfrentaba desde hacía tiempo a los seguidores de Newton con los de Leibniz, Kant se limita sólo a hacer algunas alusiones indirectas al primero --a través del texto de Euler anteriormente citado--, mientras que declara de manera explícita que la prueba que busca la obtendrá llevando adelante la valoración filosófica de lo que Leibniz intentó realizar matemáticamente bajo el proyecto del Analysis situs. Este interesante intento de usar a Leibniz contra Leibniz lo lleva a tomar una prudente distancia respecto de Euler, a pesar de compartir su filiación newtoniana. Mientras que los argumentos presentados por Euler a favor del espacio absoluto descansan sobre el hecho de que sin la hipótesis de su existencia no serían posibles los principios de la ciencia del movimiento, ciencia que él considera tan sólidamente fundada que no es posible dudar de su verdad, Kant toma como punto de partida la idea de Leibniz para constituir a partir de ella un argumento geométrico capaz de mostrar la existencia del espacio absoluto:
La prueba que yo busco aquí debe poner en manos, no sólo de los mecánicos como intentaba el señor Euler, sino incluso de los geómetras, una razón convincente para que puedan afirmar la realidad de su espacio absoluto con la evidencia a que están acostumbrados. (6) Para Kant, el análisis de la posición o situación de las partes componentes de los cuerpos y las figuras, tal y como éstas se presentan y ordenan entre sí --análisis que deja de lado toda consideración respecto de su magnitud--, no puede por sí mismo dar cuenta de la forma corpórea y para ello requiere la existencia del espacio absoluto: el orden en el que estas partes se presentan sólo puede determinarse con el establecimiento de un sistema de referencia y de un observador que pueda localizarlas en relación con este sistema, pero ambos adquieren este carácter sólo a partir del espacio absoluto y real en el que se encuentran. Sin embargo, esta dependencia de la forma respecto del espacio absoluto deviene a su vez una prueba de la naturaleza absoluta del espacio al tomar en cuenta la existencia de las parejas incongruentes, ya que si el espacio sólo consistiese en la relación de situación de los objetos que coexisten unos con otros, como lo asegura el propio Leibniz, entonces la existencia de uno de dos cuerpos simétricos agotaría todo el espacio que a partir de él se define, y haría imposible la existencia del otro cuerpo, toda vez que, de acuerdo con esta concepción, ambos determinarían el mismo espacio y deberían, por lo tanto, ser congruentes.
Por ello, Kant asegura que el análisis de la situación es posible sólo si el espacio absoluto existe, y entonces toda teoría que a ello se dedique debe asumir su existencia como condición de posibilidad. De este modo, el ejemplo de los cuerpos incongruentes sirve como apoyo para extraer la prueba de la existencia del espacio absoluto a partir de su indagación filosófica acerca del primer fundamento de la teoría matemática leibniciana del Analysis situs. (7)
La discusión sobre la naturaleza del espacio y los sólidos simétricos y no congruentes no se agota con el texto de 1768; dos años después ambos temas son retomados en la Dissertatio. Este texto, considerado un punto de inflexión en la obra de Kant, marca el fin del periodo precrítico y anuncia la apertura del horizonte problemático característico de la filosofía crítica. (8) La investigación sobre los principios del mundo sensible y del mundo inteligible, tema de esta Dissertatio, proporciona, mediante el establecimiento de los principios formales de ambos, el fundamento de lo que será más adelante la Estética trascendental.
La sensibilidad es concebida como una capacidad receptiva del sujeto ante...
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